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Re: Wie programmiere.......
Autor: Wöllmi
Datum: 27.10.02 02:07
Hi zusammen, ich möchte folgende Lösung vorstellen, die zwar kein Programm ist, aber den mathematischen Hintergrund bildet. Irgendwie habe ich vor sehr langer Zeit eine ähnliche Frage gestellt bekommen und die Lösung fand sich in der Differentialrechnung. Thema Extremwertrechnung. Ich hoffe ich habe alles wieder richtig im Gedächtnis und bitte um etwaige Kontrolle bzw. Kritik. Aufgabenstellung: 1. gegeben: A4 Blatt Länge = 29,7 cm [L] Breite = 21,0 cm [B] 2. gesucht: Größe der quadratischen Ausschnitte um einen Karton (Deckel offen!) mit einem maximalem Volumen zu falten. 3. Ansatz: Zum Ziel gelngt man über die Berechnung des Extremwertes der Quadratkantenlänge von der ja dann das Volumen abhängt. Also muß eine Formel erstellt werden mit der dann gearbeitet werden kann. Das Volumen ist das Ergebnis (Y) und die Kantenlänge des Quadrates die Variable(X) Bilden wir also einfaxh y=f(x)! 3.1 Basisformeln (Skizze) Volumen eines Quaders : V = Länge[a] * Breite[c] * Höhe => V = a * c * b Fläche eines Rechteckes: A = Länge[L] * Breite[B] => A = L * B Da der Quader aus dem Rechteck gefaltet werden soll und dazu eine quadratische Form an allen 4 Ecken entfernt werden muß, können folgende Beziehungen aufgestellt werden: (soll den Schnittmusterbogen darstellen!) ___ __________ __.........._ | __|........................|__|.b | ...................................|.c.....B |__ ..........................__| |__|___________|__|.b....._ |..b.|...........a...........|..b..| |.................L...................| L = a + 2*b => a = L - 2*b (L=29,7 cm) B = c + 2*b => c = B - 2*b (B=21,0 cm) Da das Ziel die Berechnung des Maximums, welches von der Variablen Kantenlänge des Ausschnittes abhängt ist, darf in y=f(x) keine weitere Unbekannte vorhanden sein. V = a * b * c V = (L - 2*b) * b * (B - 2*b) => a und c wurden ersetzt V = L*B*b - 2*(L+B)*b² + 4*b³ => Produkt wurde ausmultipliziert Nun müssen die Extremstellen ermittelt und auf Minimum bzw. Maximum bewertet werden. D.h. es müssen die erste und die zweite Ableitung gebildet werden. V = L*B*b - 2*(L+B)*b² + 4*b³ (Grundform) V' = L*B - 4*(L+B)*b + 12*b² (erste Ableitung dV'/db) V'' = - 4*(L+B) + 24*b (zweite Ableitung dV''/db) 4. Lösung: 4.1. Extremstellen berechnen Um aus V'= L*B - 4*(L+B)*b + 12*b² die Extremstellen (Nullstellen) zu ermittlen wird die Gleichung auf 0 gesetzt und die Nullstelle(n) wird(werden) berechnet. => 0 = L*B - 4*(L+B)*b + 12*b² => Quadratische Gleichung! => in Normalform bringen ( x² + px + q = 0 ) => 0 = L*B - 4*(L+B)*b + 12*b² /:12 (12 wegkürzen) => 0 = L*B/12 - 4/12*(L+B)*b + b² /Kürzen und Seitentausch => b² - 1/3*(L+B)*b + L*B/12 = 0 /p und q bestimmen => p = - 1/3*(L+B)*b q = L*B/12 /in Lösungsgleichung einsetzen b1 = - p/2 + SQR((p/2)² - q)) b2 = - p/2 - SQR((p/2)² - q)) => bei A4-Format mit L=29,7cm und B=21,0cm resultieren: b1 = 12,85766 cm (ich habe hier mal nicht gerundet b2 = 4,042336 cm (ich habe hier mal nicht gerundet 4.2. Extreme auf Min, Max prüfen => Wir suchen ein Maximum des Volumens! Basis ist die 2. Ableitung: V'' = - 4*(L+B) + 24*b f(b1) = -4*(29,7 + 21,0) + 24 * 12,85766 = 105,78 d.h. >0 Minimum! f(b2) = -4*(29,7 + 21,0) + 24 * 4,042336 = -105,78 d.h. <0 Maximum! 4.3. Auswahl des richtigen Wertes f(b2) < 0 d.h. Maximum b2 = 4,042336 cm ist die gesuchte Kantenlänge des Quadrates!! 5. Berechnung des Volumens V = L*B*b - 2*(L+B)*b² + 4*b³ V = 29,7 * 21,0 * 4,04 - 2*(29,7 + 21,0) * (4,04)² + 4* (4,04)³ V = 1128,495 cm³ ================ Ein größeres Volumen kann man nicht herstellen, so ich von meinem Mathelehrer etwas gelernt haben sollte, bzw. mir kein Fehler untergekommen ist. Das Ganze in ein Programm zu packen sollte nun nicht mehr so schwierig sein. (Die Ableitungen natürlich theoretisch ermittelt und dann nur noch mit den fertigen Formeln gerechnet.) Na dann viel Spaß MfG Wöllmi

Wie programmiere.......	332	Notruf	26.10.02 13:56
Re: Wie programmiere.......	913	unbekannt	26.10.02 14:12
Ach ja, noch eine Grundeinheit ...	878	unbekannt	26.10.02 14:16
Und wenn man dann fertig sinniert hat :	846	unbekannt	26.10.02 16:28
Re: Und wenn man dann fertig sinniert hat :	120	Notruf	26.10.02 17:09
Re: Und wenn man dann fertig sinniert hat :	124	Notruf	26.10.02 17:57
Re: Und wenn man dann fertig sinniert hat :	858	unbekannt	26.10.02 18:24
Re: Wie programmiere.......	131	Wöllmi	27.10.02 02:07
Mein PRG dazu	112	Wöllmi	27.10.02 09:03
Re: Wie programmiere.......	105	Notruf	27.10.02 10:41
Re: Wie programmiere.......	103	Wöllmi	27.10.02 11:58
Re: Wie programmiere.......	801	unbekannt	27.10.02 12:32
Re: Wie programmiere.......	99	Wöllmi	27.10.02 13:54
Re: Wie programmiere.......	87	Wöllmi	27.10.02 14:13
Re: Wie programmiere.......	777	unbekannt	27.10.02 14:49
Re: Wie programmiere.......	829	Wöllmi	27.10.02 15:02
Fehler gefunden!	789	Wöllmi	27.10.02 15:56
Re: Fehler gefunden!	803	unbekannt	27.10.02 16:05
Dein "Neuer" Code	837	Wöllmi	27.10.02 16:10

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